Con el propósito de que puedas graficar cualquier polinomio, buscar las raíces, derivar, probar el método de Newton, Rolle y Biseccion… usando Scripts en MATLAB he publicado esta entrada en mi blog. He creado varios scripts para usar los métodos  y así de esta manera podrás comprobar resultados y estudiar los métodos mas detalladamente, la única desventaja es que los scripts solo funcionara en polinomios sencillos sin funciones trigonométricas, logarítmicas…

Quiero dejar algunos pasos genéricos para graficar, derivar y demás…


% En MATLAB el polinomio se escribe de la siguiente forma:
%Ejemplo (x^3)+2x+9
Polinomio= [1 0 2 9] %como no esta x^2 se coloca 0.

%para graficar debemos dar un limite de donde queremos que comience y termine.
x=-15:15 %de esta forma le estoy diciendo a MATLAB que el rango en eje “x” sera desde -15 hasta 15.

%Evaluamos el polinomio en el intervalo y graficamos
y=polyval(Polinomio,x)

plot(x,y)

%si queremos evaluar el polinomio en un punto, por ejemplo en 2
polyval(Polinomio,2)

%Si queremos las raíces del polinomio
roots(Polinomio)


Método de Newton Raphson

Este método busca las raíces del polinomio, es decir busca los puntos donde x=y=0 en la función, siempre y cuando se parta de una buena estimación inicial de la misma.

Ahora bien, la recta tangente a la función, que pasa por el punto [x0 , f(x0)], se encuentra definida por la siguiente expresión:
fo_newton2
Si denominamos x1 a la intersección de g(x) con el eje x (es decir, la raíz de g(x)), resolviendo dicha ecuación obtenemos, la siguiente expresión general:
fo_newton4

Para que el método de Newton-Raphson converja deben cumplirse ciertas condiciones de convergencia. En la siguiente figura podemos apreciar, como aún partiendo de un punto cercano a la raíz buscada, en un caso el método converge y en otro caso no.

Ventajas :

  • Es de convergencia rápida.
  • Es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados.

Desventajas :

  •  Cuando un punto de inflexión, f”(x)=0 ocurre en la vecindad de una raíz.

Programa en MATLAB para buscar las raíces usando el Método de Newton Raphson

Método de Rolle

Este nos ayudara a conocer si el polinomio tiene una concavidad o convexidad (máximo o mínimo), por lo tanto podremos encontrar un punto “c” en un intervalo [a,b] donde la función es continua y es derivable en (a,b).

Existiría un punto C perteneciente a (a,b) tal que la derivada en f'(c)=0  ∃c∈(a,b) / f'(c)=0

Programa en MATLAB para el Método de Rolle

Método de Biseccion (Valor Intermedio)

El método de bisección consiste en dividir el intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud, reteniendo el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero, y repetir el proceso varias veces.

  • La funcion debe ser continua, definida en un intervalo [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.
  • Para el intervalo [a,b] existe un valor promedio “p” a<p<b, para el cual f(p)=0

Para que f(a) y f(b) sean de signos diferentes se debe cumplir que f(a)* f(b) <0

Ventajas :

  • Siempre converge.
  • Útil como aproximación inicial a otros métodos.

Desventajas :

  • Es de convergencia lenta.

Programa en MATLAB para buscar las raíces usando el Método de Biseccion

Método de la Secante

Este método se basa en la formula de Newton Raphson, pero evita el calculo de la derivada usando la siguiente ecuación.

6fdf7f0710dc67fc6ae9c1590d0a6f9b

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.

Ventajas :

  • Se hace menos trabajo en el caso de que la derivada sea algo complicada, ya que en este método no se deriva.
  • Útil como aproximación inicial a otros métodos.

Desventajas :

  • La velocidad de convergencia es menor que la de Newton Raphson.
  • La convergencia no se asegura, si la aproximación a la raíz no es suficientemente cercana a ella.
Anuncios